La définition de Jeux
La théorie des jeux
Il s'agit du nom donné à l'ensemble des méthodes mathématiques permettant la résolution de problèmes faisant intervenir règles de décision et notions abstraites de tactique et de stratégie.
Pascal fut le premier à proposer une solution au partage des enjeux lorsqu'une partie n'est pas conduite à son terme. Il eut d'illustres successeurs comme Huygens, Bernoulli, Cournot puis Borel, qui approcha de très près le principe fondamental de la théorie des jeux découvert par John von Neumann, en 1928. Cependant, il a fallu attendre dix ans pour que Jean Ville en donne une démonstration élémentaire. Et c'est seulement en 1944 que la théorie des jeux entra dans sa phase de maturité avec la parution de l'ouvrage écrit par Neumann et Oskar Morgenstern (La théorie des jeux et du comportement économique).
Le jeu de base étudié
Le jeu de base étudié complètement par la théorie est appelé duel. En effet, il se joue à deux personnes ou à deux équipes, et ce que perd l'un profitera exclusivement à l'autre. Le déroulement d'un jeu dépend de l'habileté des joueurs, c'est-à-dire que le gain ou la perte de chaque joueur dépend non seulement de ses propres initiatives, mais aussi de celles de son adversaire.
Les règles du jeu doivent être traduites par une suite de possibilités pour le joueur ayant le trait, c'est-à-dire sur le point de décider du choix du coup suivant. Dans les jeux prévoyant plus d'un coup par joueur, on peut supposer que les choix seront fixés en définitive juste au moment où ils devront être exécutés. Pour cela, on tiendra compte de l'information résultant de l'état de la partie au moment adéquat. Mais on peut décider à l'avance des différentes conduites à tenir lorsque divers choix se présenteront.
Étant donné un jeu déterminé par un ensemble de positions ou de situations et des règles permettant mouvements ou décisions précises, il est généralement possible de dresser la liste de toutes les actions à envisager. Pour un tel jeu, appelé jeu fini, on appellera tactique l'un des choix possibles pour un joueur et stratégie une combinaison de tactiques. Le point de vue adopté par la théorie des jeux, et que l'on pourrait qualifier de politique de prudence, consiste pour le joueur à se placer toujours dans une situation comportant le moindre risque. Ce n'est pas en cherchant à obtenir le plus que l'on sera assuré du meilleur gain.
Le tableau des gains et des pertes
Un des aspects de la théorie des jeux est que chacun des participants peut faire la même analyse de la situation et établir le même tableau des gains et des pertes de chaque joueur, appelé règlements.
Soit à considérer les gains du joueur A (qui représentent aussi les pertes du joueur B) en fonction de tous les cas réalisables. A et B pourront former, l'un comme l'autre, un tableau où les diverses tactiques de A seront représentées par des lignes et celles de B par des colonnes. Les règles du jeu permettent aux deux joueurs, A et B, d'établir indépendamment le même tableau. À la croisée d'une ligne et d'une colonne, un élément de ce tableau, qui est le résultat d'une tactique adoptée par A et d'une tactique adoptée par B, donne, par convention, la valeur du gain de A. Par conséquent, A cherche à obtenir un gain élevé, B une perte réduite. Mais si A choisissait systématiquement la ligne comportant le gain le plus fort, B ne choisirait pas la colonne qui lui serait le plus défavorable. A doit donc choisir une ligne lui assurant, quel que soit le choix de B, un gain certain qui soit le plus élevé possible.
Pour cela, A doit repérer les plus petits gains pour chaque ligne (les minimums) et opter pour la ligne présentant le plus grand parmi ces minimums, appelé le maximin. De son côté, B choisira le plus petit des maximums de colonne, appelé le minimax. S'il existe un élément du tableau qui soit à la fois maximum dans sa colonne et minimum dans sa ligne, cet élément prendra le nom de point d'équilibre et donnera la valeur du règlement relatif à un coup joué par A et un coup joué par B. En jouant la ligne du point d'équilibre, A s'assure un gain minimal et B peut améliorer le gain de A en jouant mal, mais ne peut pas réduire le gain de A. De son côté, si B a le trait, et s'il choisit la colonne portant le point d'équilibre, alors il ne perdra pas plus de la même valeur. Mais si A ne jouait pas sa meilleure tactique, alors cela donnerait au règlement une valeur plus avantageuse pour B.
Dans le jeu de pile ou face, chaque joueur retourne lui-même sa pièce. A gagne s'il y a concordance, B s'il y a discordance. Les stratégies mixtes (pile et face avec la même probabilité) conduisent seules à l'équilibre du règlement final, nul en moyenne. Ainsi la détermination d'un point d'équilibre, s'il existe, permet à chacun des joueurs de s'assurer une position qui peut être améliorée par une faute de l'adversaire, mais ne saurait être empirée même par un jeu habile de l'adversaire. Plus généralement, s'il n'y a pas de point d'équilibre, A sait le plus grand des gains minimaux qu'il peut escompter, et B connaît de même la plus petite des pertes maximales risquées.
La mise en œuvre de stratégies
C'est la création des stratégies qui permettra de guider les joueurs vers des choix visant à réduire l'écart entre ces deux valeurs, pour le profit des deux parties. La véritable habileté en la matière ne consiste pas à chercher à tenir compte des réactions psychologiques de l'adversaire, mais à lui refuser toute information de cet ordre, et, pour cela, il faut que le joueur adopte un comportement imprévisible pour l'adversaire, donc fondé sur un principe aléatoire (par exemple, un coup de dé).
Chacun répartira des probabilités sur l'ensemble des tactiques dont les combinaisons ainsi pondérées formeront des stratégies. Le nouveau jeu peut se concevoir alors de deux manières:
- S'il y a un seul coup à jouer: un seul choix aléatoire parmi les tactiques entrant dans une stratégie permettra de décider. Si trois tactiques de probabilités 1/6, 1/3, 1/2 interviennent dans une stratégie, on pourra décider par le jet d'un dé. Ainsi, le 1 correspondra à l'emploi de la première tactique, les 2 et 3 à la seconde, et le 4, le 5 et le 6 à la troisième. La meilleure manière de ne pas dévoiler le secret est de ne jeter le dé qu'au dernier moment, afin que même la connaissance de la stratégie ne soit pas d'un grand secours pour l'adversaire.
- Si plusieurs coups peuvent être joués: c'est le cas, par exemple, d'une concurrence commerciale). Dans ce cas, les jets de dés ou le tirage au sort par un tout autre procédé respectant la distribution adoptée permettent encore d'améliorer le résultat par rapport au jeu initial non probabilisé. Une stratégie (S) est déterminée par l'ensemble des probabilités associées à chaque tactique, et le joueur A doit maximiser, pour le choix de S, la valeur minimale que peut prendre le gain.
Le théorème fondamental de la théorie des jeux
Selon le théorème fondamental de la théorie des jeux, quelles que soient les distributions de probabilités sur les tactiques de chaque joueur, le maximin et le minimax sont égaux et prennent une valeur représentant le règlement moyen du jeu. Si le joueur A ne règle pas la fréquence d'emploi de ses tactiques suivant le critère fourni lors du calcul du maximim, alors, quelle que soit la stratégie de B, il n'est pas assuré du règlement escompté (c'est-à-dire maximum de gain ou minimum de perte).
L'introduction de ces probabilités, calculables à partir du tableau des règlements du jeu tactique, permet d'annuler la marge se trouvant entre les règlements optimaux du jeu déterministe. Ainsi, les deux joueurs trouvent profit, en commun, à utiliser les nouvelles règles induites par l'introduction du principe aléatoire tel que le coup de dé, et le nouvel équilibre est favorable aux deux camps. De fait, il y a une sorte de coalition d'intérêts pourtant contradictoires, mais portés par des joueurs également compétents. Cependant, il se peut que les stratégies aléatoires fassent courir avec une probabilité très faible un risque très grand. En ce cas, l'un ou l'autre joueur peut revenir au jeu déterministe et conserver l'avantage qui avait été envisagé en premier lieu.
La théorie des jeux aborde encore des problèmes plus généraux, où il y a plus de deux joueurs (par exemple, des groupements d'intérêts ou de coalitions pouvant se faire ou se défaire au cours de la même partie). Les jeux de hasard, préoccupations des premières recherches, les jeux de réflexion pure et les situations de conflit qui se présentent dans les affaires ou la politique, ainsi que les alliances militaires ou les actions collectives, notamment économiques, sont les uns et les autres redevables de cette théorie. Pour de nombreuses applications, les ordinateurs sont indispensables en vue de la détermination des stratégies optimales de deux concurrents disposant d'un grand nombre de tactiques. Puis l'utilisation de ces stratégies nécessite l'emploi de tables de nombres au hasard permettant la généralisation du tirage au sort.