La définition de Topologie

La topologie désigne une géométrie souple qui traite en mathématiques des questions de voisinage, de transformation continue, de frontière et de surface sans faire intervenir nécessairement la distance métrique.
En psychanalyse, le terme topologie se réfère essentiellement aux élaborations de Jacques Lacan.

La topologie du tore et la figure de Möbius

À partir de 1962, Lacan a développé dans L'identification la topologie du tore, de la bande de Möbius et du cross-cap. Le tore, qui est comparable à la surface d'une chambre à air, représente l'enchaînement du désir au désir de l'Autre. En effet, le signifiant de la demande se répète en faisant sur le tore une coupure qui tourne à la fois autour du trou circulaire du tore et autour du trou central. C'est-à-dire que la demande semble tourner autour d'un objet mais elle rate le véritable objet du désir, qui se situe ailleurs, dans le trou central.
Il faut alors se représenter le tore du grand Autre enchaîné avec le premier de telle sorte que demande et désir se situent ici de façon inversée. Ainsi, le désir de l'individu névrosé représenté dans ces tores a pour objet la demande de l'Autre et, inversement, ce que l'individu demande, c'est l'objet de l'Autre.
En revanche, dans la bande de Möbius, la coupure représentée par le bord unique de la bande cerne un objet a.
La bande de Möbius peut être illustrée par une ceinture qu'on a refermée après avoir effectué une demi-torsion. Cette surface curieuse a la propriété de ne posséder qu'une seule face et qu'un seul bord. Cette bande, où l'endroit rejoint l'envers, représente bien le rapport de l'inconscient au discours conscient. Cela signifie que l'inconscient est à l'envers mais qu'il peut surgir dans le conscient en tout point du discours. Il est possible de figurer l'interprétation comme une coupure médiane de cette bande, qui la transformerait alors en une autre bande munie de deux faces et de deux bords. C'est-à-dire que l'interprétation analytique mettrait en évidence l'inconscient comme envers du discours dans le même temps où cet inconscient se désisterait comme tel.

Par ailleurs, dans L'étourdit, Lacan montre la transformation du tore névrotique en bande de Möbius par la coupure interprétative. Le bord unique de la bande de Möbius est l'équivalent d'un cercle, si bien que ce bord peut servir de frontière à un disque qui viendrait ainsi fermer la bande de Möbius. Cette opération ne peut s'imaginer dans l'espace à trois dimensions qu'en admettant un artifice, c'est-à-dire que les surfaces puissent se traverser. La surface ainsi formée n'a plus de bord. Elle ressemble à une sphère mais, comme la bande de Möbius, elle n'a qu'une seule face, c'est-à-dire que l'intérieur communique avec l'extérieur. C'est le cross-cap (Figure 3a), un modèle du plan projectif.
Le disque, la rondelle fermant la bande de Möbius, constitue l'objet a. Cet objet a, qui échappe donc au niveau du tore, se découpe sur le cross-cap (Figure 3b). Cette topologie soutient le mathème du fantasme ($ x a), où la coupure de l'individu est représentée par la bande de Möbius (Figure 3c) alors que l'objet a est figuré par la rondelle.

Le Schéma R

Le schéma R contient le trajet Saa'A déjà rencontré dans le schéma L du Séminaire sur La lettre volée, où la relation symbolique du sujet S et de l'autre A se double de la relation imaginaire du moi a' et de ses objets a.
Nous pouvons, grâce au Séminaire La relation d'objet, retracer les lignes de construction du champ de la réalité dans ce schéma R. C'est la relation symbolique mère-enfant qui constitue le premier axe de cette réalité. Mais cette relation symbolique, dès le début, ne se réduit pas à la dépendance de la satisfaction ou de la non-satisfaction des besoins. L'enfant est dépendant de l'amour de cette mère, c'est-à-dire du désir de son désir.
Le stade du miroir permet d'introduire une certaine dialectique dans ce système primitif en offrant à l'enfant une perception à la fois réelle et irréelle, une image captivante et aliénante (i). Du fait de la prématurité de cette image s'ouvre une faille dans l'imaginaire qui répond à une autre béance dans le symbolique du côté de la relation à cet Autre qui est là, témoin de la scène. M désigne cet Autre réel, cet objet primordial maternel, support de la Chose. L'image i constitue alors un point d'appui, une limite de la réalité. Ce repérage offre à l'individu la possibilité d'entrer en sens contraire, pour les identifications du moi (m), dans un autre champ constitué par le triangle mIM, homologue et inverse du triangle miM. Ces identifications successives se font dans la direction du symbolique où le moi prend la fonction d'une série de signifiants avec pour limite l'idéal du moi I, au niveau paternel. Le champ miMI de la réalité se constitue donc en direction du symbolique et se trouve semé de signifiants. L'identification à l'idéal du moi du côté paternel permet, dit Lacan, « un détachement plus grand par rapport à la relation imaginaire qu'au niveau de la relation à la mère ».
L'identification de l'individu au phallus imaginaire, au sommet du triangle imaginaire iÖm, en tant qu'objet du désir de la mère, doit être détruite corrélativement au dévoilement en A, le lieu de l'Autre, du Nom-du-Père P, au sommet du triangle symbolique IPM destiné à recouvrir le triangle imaginaire.
La note de 1966 du texte des Écrits permet d'identifier le schéma R à un plan projectif étalé, c'est-à-dire un cross-cap. En effet, il est possible de joindre les points antipodaux sur les bords de ce carré. C'est déjà ce que suggèrent les lignes pointillées et la disposition des lettres mM, iI. (Nous pouvons imaginer que localement m vient se placer à l'envers de M, i à l'envers de I, mais cet envers étant en fait sur la même face que l'endroit.)
Dans cette opération, le quadrangle miMI se transforme en bande de Möbius et les triangles S et I ne forment plus qu'un seul disque (ou rondelle), s'appuyant sur la bande de Möbius grâce à la frontière commune. C'est cette frontière commune qui est constituée par la coupure unique mi→, MI→, c'est effectivement la seule véritable coupure de la surface, le bord du carré n'étant en fait qu'artificiellement figuré puisque destiné à être recollé à lui-même, chaque trait plein correspondant au trait pointillé antipodal.
Cette coupure isole une bande de Möbius qui recouvre le champ de la réalité. Il existe une identité paradoxale de cette coupure et de la bande de Möbius du point de vue topologique. C'est pourquoi, sur cette bande, « rien n'y est mesurable qui soit à retenir de sa structure », c'est-à-dire que la largeur de la bande n'a pas de valeur structurale. Par cette coupure, le réel constitue la frontière entre l'imaginaire et le symbolique, qui se retrouvent pourtant sur le même bord. Si l'écran du fantasme vient obturer le champ de la réalité, il n'efface pas la coupure du réel, qui reste marginale. En effet, c'est cette coupure qui donne le cadre, la structure du fantasme. La coupure du plan projectif est aussi bien symbolisée dans la barre du sujet $ que dans le losange L qui articule, dans la formule du fantasme, $ à l'objet, $ L a. Ici, l'objet a correspond aux champs I et S, à la rondelle, et $ correspond à la bande, c'est-à-dire à la coupure.

Le schéma I

Dans le Séminaire sur Les formations de l'inconscient, Lacan livre des éléments pour expliquer le passage du schéma R au schéma I. Dans la psychose, le champ de la réalité se trouve remanié. Il s'agit d'abord d'une régression topique, structurale.
À partir des triangles iMm et mMI, il faut concevoir, dans le sens inverse de celui signalé plus haut, le mouvement d'intrusion au niveau de la limite i de l'image du corps propre dans le champ R, et, au niveau du moi, un déchaînement des signifiants. Ces deux mouvements viennent distordre le champ de la réalité toujours limité par les lignes mi et MI. La forclusion du signifiant paternel forme un gouffre du côté symbolique, auquel répond un autre gouffre du côté imaginaire. Ces deux trous incurvent les lignes mi et MI et renvoient à l'infini les quatre repères fondamentaux de l'individu, m, i, M et I, ce dernier, le créé I, venant à la place de P comme attiré par le vide, selon un mouvement accéléré sur une trajectoire infinie hyperbolique. Il est facile de retrouver la forme générale du schéma I par cette transformation du champ R, conçu comme formé de deux triangles homologues et inverses.
Cette transformation implique une modification radicale du rapport topologique des places de m et de M, M et m viennent se placer de part et d'autre du côté symbolique et du côté imaginaire de la ligne principale, de l'axe de ce schéma, qui constitue leur asymptote commune dans leur course à l'infini dans l'espace et le temps. Lacan se réfère ici à Sigmund Freud et à son terme asymptotisch pour qualifier la conjonction désirée du moi délirant et de son Dieu. Contrairement au schéma R, qui a la topologie du plan projectif, il est possible pour le schéma I d'évoquer le plan hyperbolique.

Le nœud borroméen

La distinction du réel, du symbolique et de l'imaginaire est essentielle dès les premiers séminaires de Lacan. En montrant que l'inconscient est structuré comme un langage, le rôle déterminant du symbolique a été souligné et en particulier sa primauté sur l'imaginaire. L'imaginaire est lié à l'image du corps et à la relation spéculaire du moi au petit autre. Quant au réel, il se distingue de la réalité, qui n'est qu'un réel apprivoisé par le symbolique et l'imaginaire. Il ne peut se définir que par la butée de l'impossible, comme ce qui échappe justement au symbolique et à l'imaginaire.
Dans le nœud borroméen à trois ronds, utilisé par Lacan dès 1972, le réel, le symbolique et l'imaginaire consistent en trois anneaux absolument distincts dans le sens où ils sont libres deux à deux. Ils ne font pas chaîne l'un avec l'autre. Le nœud réalise le lien de ces trois dimensions sans qu'aucune d'elles ne s'enchaîne à aucune autre. La coupure d'une des trois libère les deux autres.

Le nœud borroméen permet alors une nouvelle écriture des mathèmes du nœud. Ainsi, Lacan situe le sens au niveau où le symbolique recouvre l'imaginaire. Le sens est bien un effet du symbolique dans l'imaginaire, mais le nœud montre que le réel intervient également, si bien que l'effet de sens de l'interprétation analytique peut être aussi réel.
L'objet a trouve sa place au niveau central. La jouissance phallique (JF) et la jouissance de l'Autre (JA) sont également situées sur le nœud. À partir de là, la clinique illustre les différents modes de nouage du nœud, c'est-à-dire la façon singulière pour un individu de faire tenir ensemble ces différentes dimensions, éventuellement grâce à un quatrième cercle, celui du symptôme.